गणितपाद (33 श्लोकों में)

Posted on by Twinkle Pandey
1 min read

​गणितपाद (Ganitapada) आर्यभट द्वारा रचित ‘आर्यभटीय’ ग्रंथ का दूसरा अध्याय है, जिसमें 33 श्लोकों के माध्यम से गणित के विविध विषयों को प्रस्तुत किया गया है। ये श्लोक संस्कृत के आर्या छंद में रचित हैं और इनमें अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, क्षेत्रमिति, प्रगति, रेखीय समीकरण, घातांक, कुट्टक विधि, छाया गणना (शंकु छाया), और दशमलव स्थान मान प्रणाली जैसे विषयों को समाहित किया गया है।​

🔢 गणितपाद के प्रमुख विषय

1. दशमलव स्थान मान प्रणाली

आर्यभट ने दशमलव स्थान मान प्रणाली का वर्णन किया, जिसमें संख्याओं को 1, 10, 100, 1000 आदि के रूप में स्थान के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है। उन्होंने वर्णमाला के अक्षरों के माध्यम से संख्याओं को निरूपित करने की प्रणाली भी विकसित की, जिससे बड़ी संख्याओं को सरलता से व्यक्त किया जा सकता था। ​Wikipedia

2. वर्ग और घन

गणितपाद में वर्ग (square) और घन (cube) की परिभाषा और उनकी गणना के सूत्र दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, किसी संख्या का वर्ग उस संख्या को स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त होता है, और घन उस संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर।​

3. वर्गमूल और घनमूल

श्लोकों में वर्गमूल (square root) और घनमूल (cube root) निकालने की विधियाँ वर्णित हैं। उदाहरण के लिए, 529 का वर्गमूल 23 है, और 12167 का घनमूल भी 23 है।​

4. बहुपदों का विस्तार

(x + y)² और (x + y)³ जैसे बहुपदों के विस्तार के सूत्र दिए गए हैं, जो आधुनिक बीजगणित में भी उपयोगी हैं।​

5. क्षेत्रमिति (Mensuration)

गणितपाद में विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना के सूत्र प्रस्तुत किए गए हैं:

  • वृत्त का क्षेत्रफल: व्यास और परिधि के आधार पर।
  • त्रिभुज का क्षेत्रफल: आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा।
  • समलंब चतुर्भुज (trapezium) और बहुभुजों के क्षेत्रफल की गणना।​

6. π (पाई) का मान

आर्यभट ने π का मान 3.1416 के रूप में निकटतम मान दिया, जो उस समय के लिए अत्यंत सटीक था। ​StudiousGuy

7. त्रिकोणमिति

गणितपाद में त्रिकोणमिति के सिद्धांतों को भी शामिल किया गया है, जिसमें अर्धज्या (sine) और ज्या (cosine) की अवधारणाएँ प्रस्तुत की गई हैं। उन्होंने त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र भी दिए हैं।​

8. प्रगति (Progressions)

श्लोकों में अंकगणितीय (arithmetic) और ज्यामितीय (geometric) प्रगति की अवधारणाएँ और उनके n पदों के योग की गणना के सूत्र दिए गए हैं।​

9. कुट्टक विधि (Kuṭṭaka Method)

आर्यभट ने कुट्टक विधि के माध्यम से रेखीय और अनिर्धारित समीकरणों को हल करने की तकनीक विकसित की, जो आधुनिक बीजगणित में महत्वपूर्ण है। ​

10. रेखीय समीकरण

गणितपाद में ax + b = cx + d जैसे रेखीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ भी प्रस्तुत की गई हैं।​

📚 गणितपाद की संरचना

गणितपाद के 33 श्लोकों को विभिन्न विषयों में विभाजित किया जा सकता है:​

  • श्लोक 1-2: संख्यात्मक प्रणाली और दशमलव स्थान मान प्रणाली।
  • श्लोक 3-6: वर्ग, घन, वर्गमूल, घनमूल, और बहुपदों का विस्तार।
  • श्लोक 7-10: वृत्त, त्रिभुज, समलंब चतुर्भुज, बहुभुज, और π का मान।
  • श्लोक 11-14: वृत्त की विशेषताएँ और जीवा (chord) की अवधारणाएँ।
  • श्लोक 15-16: कोन (cone) की विशेषताएँ।
  • श्लोक 17-18: समकोण त्रिभुज और पायथागोरस प्रमेय।
  • श्लोक 19-22: प्रगति और उनके योग की गणना।
  • श्लोक 23-31: तीन संख्याओं का नियम, निवेश, ब्याज, लाभ और हानि।
  • श्लोक 32-33: रेखीय समीकरण और कुट्टक विधि।

🧠 आर्यभट की अन्य गणितीय उपलब्धियाँ

शून्य और स्थान मान प्रणाली:

आर्यभट ने शून्य की अवधारणा और स्थान मान प्रणाली को विकसित किया, जो आधुनिक गणित की नींव है। इस प्रणाली में प्रत्येक अंक का स्थान, जैसे इकाइयाँ, दस, सैकड़ों, आदि, उसकी मान्यता को निर्धारित करता है। शून्य का उपयोग केवल अंक के रूप में नहीं, बल्कि गणना और रचनात्मक रूप से भी किया गया, जिससे गणित के विकास में एक बड़ी क्रांति आई। इस विचार ने आगे चलकर दशमलव प्रणाली और अंकों के महत्व को स्पष्ट किया। यह प्रणाली आज के गणित में उपयोगी साबित हुई है, खासकर अंकगणित और खगोलशास्त्र में।

π का सटीक मान:

आर्यभट ने π का मान 3.1416 के रूप में निकाला, जो उस समय के लिए अत्यंत सटीक था। इस मान की गणना उन्होंने अपने कार्यों में की और इसे गणितपाद में स्थान दिया। π के मान की सटीकता उस समय के लिए एक महत्वपूर्ण उपलब्धि थी, क्योंकि यह खगोलशास्त्र और ज्यामिति में गणनाओं के लिए अत्यंत आवश्यक था। उनके द्वारा निकाला गया π का मान आज भी सटीकता के मामले में प्रासंगिक है और यह अन्य गणितज्ञों द्वारा किए गए शोधों की नींव के रूप में कार्य करता है।

त्रिकोणमिति की स्थापना:

आर्यभट को त्रिकोणमिति के संस्थापक के रूप में भी जाना जाता है। उन्होंने साइन (अर्धज्या) और कोसाइन (ज्या) जैसी अवधारणाओं का उपयोग किया और इनकी गणना के लिए विधियाँ दीं। त्रिकोणमिति के उनके सिद्धांतों का प्रभाव न केवल गणित बल्कि खगोलशास्त्र में भी देखा जाता है, क्योंकि वह पृथ्वी के घूर्णन और ग्रहों की स्थिति का अध्ययन कर रहे थे। इसने भविष्य में खगोलशास्त्रियों को ग्रहों के मार्ग और सौरमंडल के अन्य गुणों को बेहतर तरीके से समझने में मदद की।

आकाशगतिक गणना:

आर्यभट ने पृथ्वी के घूर्णन को समझते हुए इसकी गणना की। उन्होंने पृथ्वी के घूर्णन के समय का अनुमान भी लगाया, जो आधुनिक खगोलशास्त्र में महत्वपूर्ण था। उनके अनुसार पृथ्वी 24 घंटे में अपनी धूरी पर घुमती है, जो आज के समय में सही मानी जाती है। उनके द्वारा गणना किए गए ग्रहों और उनके उपग्रहों के गति के सिद्धांत भी अत्यंत महत्वपूर्ण थे।

कालगणना (Timekeeping):

आर्यभट ने कालगणना के लिए एक नया तरीका प्रस्तुत किया। उन्होंने 360 दिन के वर्ष को 365.358 दिन के वास्तविक वर्ष के निकट बताया। साथ ही, उन्होंने खगोलीय घटनाओं, जैसे ग्रहणों और नक्षत्रों की गणना की, जो आज भी उपयोगी मानी जाती है। उनके द्वारा प्रस्तुत यह कालगणना प्रणाली कई खगोलशास्त्रियों के लिए मार्गदर्शक साबित हुई।

कुट्टक विधि (Kuṭṭaka Method):

आर्यभट ने समीकरणों के हल के लिए कुट्टक विधि का विकास किया। यह एक प्रकार की गणितीय प्रक्रिया है, जिसका उपयोग बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता था। यह विधि बाद में भारतीय गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए अन्य तकनीकों के लिए एक मजबूत आधार बनी। इस विधि के द्वारा जटिल समीकरणों को सरल रूप में हल किया जा सकता था।

शेषफल और विभाजन:

आर्यभट ने शेषफल और विभाजन (division) की अवधारणाओं पर कार्य किया। उनका उद्देश्य था कि विभाजन की समस्याओं को सरल और प्रभावी तरीके से हल किया जाए। इस कार्य में उन्होंने विशेष ध्यान दिया कि कैसे शेषफल को आसानी से समझा और इस्तेमाल किया जा सकता है, जिससे बाद में भारतीय गणितज्ञों ने इसे विस्तार से प्रयोग किया।

आर्यभट का गणितीय योगदान न केवल भारतीय गणित के इतिहास में महत्वपूर्ण था, बल्कि पूरे विश्व में गणित और खगोलशास्त्र के विकास में भी उनका योगदान अविस्मरणीय है। उनके कार्यों का असर आज भी विभिन्न गणितीय और खगोलशास्त्रीय समस्याओं के हल में देखा जाता है। उनके योगदान ने पूरी दुनिया में गणित के अध्ययन और विकास की दिशा को बदल दिया।

Loading

You May Also Like

More From Author

167Comments

Add yours
  1. 1
    Cazrdxs
    Reply

    Здравствуйте!
    Мы можем предложить дипломы любой профессии по приятным тарифам. Цена зависит от определенной специальности, года получения и ВУЗа: rdiploman.com/

  2. 2
    Cazrgox
    Reply

    Приобрести диплом ВУЗа по доступной стоимости вы можете, обратившись к проверенной специализированной фирме. Мы можем предложить документы университетов, расположенных на территории всей России. adserver.copiny.com/question/details/id/1085735

  3. 3
    Sazrxhf
    Reply

    Купить документ о получении высшего образования можно в нашем сервисе. Мы оказываем услуги по продаже документов об окончании любых университетов Российской Федерации. Вы сможете получить необходимый диплом по любым специальностям, включая документы старого образца. Даем гарантию, что в случае проверки документов работодателями, подозрений не возникнет. diplom-onlinex.com/kupit-diplom-o-srednem-obrazovanii-bistro-v-reestr/

  7. 7
    MArdriwau
    Reply

    Иван почувствовал, что теряется. взять микрокредит Кроме того, Берлиоза охватил необоснованный, но столь сильный страх, что ему захотелось тотчас же бежать с Патриарших без оглядки.

  8. 8
    FAvdrieah
    Reply

    «Он не иностранец… он не иностранец… – думал он, – он престранный субъект… но позвольте, кто же он такой?. размещу ваш сайт И было в полночь видение в аду.

  9. 9
    XAldrirar
    Reply

    И не только потому, что размещался он в двух больших залах со сводчатыми потолками, расписанными лиловыми лошадьми с ассирийскими гривами, не только потому, что на каждом столике помещалась лампа, накрытая шалью, не только потому, что туда не мог проникнуть первый попавшийся человек с улицы, а еще и потому, что качеством своей провизии Грибоедов бил любой ресторан в Москве, как хотел, и что эту провизию отпускали по самой сходной, отнюдь не обременительной цене. сетки на окна антикошка цена в москве – Однако! Я чувствую, что после водки вы пили портвейн! Помилуйте, да разве это можно делать! – Я хочу вас попросить, чтоб это осталось между нами, – заискивающе сказал Степа.

  10. 10
    LAvdriwad
    Reply

    Раньше всего: ни на какую ногу описываемый не хромал, и росту был не маленького и не громадного, а просто высокого. паспорт перевод на русский Что с ней было дальше, неизвестно, но рассказывали жильцы других квартир, что будто бы в № 50-м всю ночь слышались какие-то стуки и будто бы до утра в окнах горел электрический свет.

  11. 11
    IAddrilah
    Reply

    С легкой руки членов МАССОЛИТа никто не называл дом «Домом Грибоедова», а все говорили просто – «Грибоедов»: «Я вчера два часа протолкался у Грибоедова». нотариус Пионерская Доктор поклонился Рюхину, но, кланяясь, смотрел не на него, а на Ивана Николаевича.

  12. 12
    WAadrieal
    Reply

    Но нет, нет! Лгут обольстители-мистики, никаких Караибских морей нет на свете, и не плывут в них отчаянные флибустьеры, и не гонится за ними корвет, не стелется над волною пушечный дым. нотариус метро Парк Победы Ведь то, что он видел в верхнем этаже, было не все и далеко еще не все.

  14. 14
    PAldrilah
    Reply

    Абрикосовая дала обильную желтую пену, и в воздухе запахло парикмахерской. Топливозаборники – А у вас какая специальность? – осведомился Берлиоз.

  59. 59
    nordvpn coupons inspiresensation
    Reply

    Hi I am so thrilled I found your weblog, I really found you by accident, while I was
    researching on Digg for something else, Anyhow I am here
    now and would just like to say thank you for a incredible post and a all round
    entertaining blog (I also love the theme/design), I don’t have time to browse it all at the minute but I have book-marked it and
    also added in your RSS feeds, so when I have time I will be back
    to read more, Please do keep up the fantastic jo.

    My site nordvpn coupons inspiresensation

  60. 60
    nordvpn coupons inspiresensation
    Reply

    Good day! I know this is kinda off topic but I’d figured
    I’d ask. Would you be interested in trading links or maybe guest
    writing a blog post or vice-versa? My blog addresses a lot of the same
    topics as yours and I believe we could greatly benefit from each other.

    If you are interested feel free to shoot me an e-mail.
    I look forward to hearing from you! Terrific blog by the way!

    Here is my blog post … nordvpn coupons inspiresensation

  105. 105
    BAadriaad
    Reply

    Мне говорили, что мой отец был сириец… – Где ты живешь постоянно? – У меня нет постоянного жилища, – застенчиво ответил арестант, – я путешествую из города в город. нотариально заверенный перевод паспорта Выведя арестованного из-под колонн в сад, Крысобой вынул из рук у легионера, стоявшего у подножия бронзовой статуи, бич и, несильно размахнувшись, ударил арестованного по плечам.

  106. 106
    XArdriaal
    Reply

    За ним по три в ряд полетели всадники в туче пыли, запрыгали кончики легких бамбуковых пик, мимо прокуратора понеслись казавшиеся особенно смуглыми под белыми тюрбанами лица с весело оскаленными, сверкающими зубами. создание сайтов и продвижение самостоятельно Рюхин сконфузился до того, что не посмел поднять глаза на вежливого доктора.

  107. 107
    YAjdrilal
    Reply

    Ведь заседание-то назначено в десять? – А сейчас хорошо на Клязьме, – подзудила присутствующих Штурман Жорж, зная, что дачный литераторский поселок Перелыгино на Клязьме – общее больное место. процесс создания сайта wordpress Прокуратор обратился к кентуриону по-латыни: – Преступник называет меня «добрый человек».

  113. 113
    PAldrirav
    Reply

    Точно на том месте, где была груда платья, остались полосатые кальсоны, рваная толстовка, свеча, иконка и коробка спичек. бюро переводов с нотариальным заверением митино адреса Откуда же сумасшедший знает о существовании киевского дяди? Ведь об этом ни в каких газетах, уж наверно, ничего не сказано.

  115. 115
    XArdriraw
    Reply

    – Кабы я знал фамилию! Не разглядел я фамилию на визитной карточке… Помню только первую букву «Ве», на «Ве» фамилия! Какая же это фамилия на «Ве»? – схватившись рукою за лоб, сам у себя спросил Иван и вдруг забормотал: – Ве, ве, ве! Ва… Во… Вашнер? Вагнер? Вайнер? Вегнер? Винтер? – Волосы на голове Ивана стали ездить от напряжения. нотариальный перевод документов с Разговор этот шел по-гречески.

  116. 116
    WAudriaaw
    Reply

    Марк одною левой рукой, легко, как пустой мешок, вздернул на воздух упавшего, поставил его на ноги и заговорил гнусаво, плохо выговаривая арамейские слова: – Римского прокуратора называть – игемон. кто делает нотариальный перевод паспорта – Ты нарочно под ногами путаешься? – зверея, закричал Иван.

  117. 117
    PAidrisal
    Reply

    Сняв с себя одежду, Иван поручил ее какому-то приятному бородачу, курящему самокрутку возле рваной белой толстовки и расшнурованных стоптанных ботинок. сайт kredito24 – Однако, – проворчал Двубратский.

  122. 122
    BAadrijad
    Reply

    Он пригласил меня к себе в дом в Нижнем Городе и угостил… – Добрый человек? – спросил Пилат, и дьявольский огонь сверкнул в его глазах. фильтр воздушный на chery tiggo Вчерашний день, таким образом, помаленьку высветлялся, но Степу сейчас гораздо более интересовал день сегодняшний и, в частности, появление в спальне неизвестного, да еще с закуской и водкой.

  123. 123
    YAldriwar
    Reply

    Толпа ответила длинным гулом как бы удивления или облегчения. займер офис москва Кто-то суетился, кричал, что необходимо сейчас же, тут же, не сходя с места, составить какую-то коллективную телеграмму и немедленно послать ее.

  125. 125
    EAudrirai
    Reply

    – Да, по этой пригласили, – подтвердил профессор и пояснил: – Тут в государственной библиотеке обнаружены подлинные рукописи чернокнижника Герберта Аврилакского, десятого века. смсфинанс ру личный – Так помолись ему! Покрепче помолись! Впрочем… – тут голос Пилата сел, – это не поможет.

  130. 130
    SArdrilar
    Reply

    – Товарищ Бездомный, – заговорило это лицо юбилейным голосом, – успокойтесь! Вы расстроены смертью всеми нами любимого Михаила Александровича… нет, просто Миши Берлиоза. как измерить москитную сетку на пластиковое окно Ночью у костра обернись – такие огоньки увидишь.

  136. 136
    OAvdrisaa
    Reply

    Помнят московские старожилы знаменитого Грибоедова! Что отварные порционные судачки! Дешевка это, милый Амвросий! А стерлядь, стерлядь в серебристой кастрюльке, стерлядь кусками, переложенными раковыми шейками и свежей икрой? А яйца-кокотт с шампиньоновым пюре в чашечках? А филейчики из дроздов вам не нравились? С трюфелями? Перепела по-генуэзски? Десять с полтиной! Да джаз, да вежливая услуга! А в июле, когда вся семья на даче, а вас неотложные литературные дела держат в городе, – на веранде, в тени вьющегося винограда, в золотом пятне на чистейшей скатерти тарелочка супа-прентаньер? Помните, Амвросий? Ну что же спрашивать! По губам вашим вижу, что помните. москитные сетки антипыль на пластиковые И все, кроме неподвижного прокуратора, проводили взглядом Марка Крысобоя, который махнул рукой арестованному, показывая, что тот должен следовать за ним.

  142. 142
    DAadridal
    Reply

    Но вчера еще радовавшее доказательство славы и популярности на этот раз ничуть не обрадовало поэта. Лёгкая и теплая. — Это не в моих привычках.

  143. 143
    LArdriaaj
    Reply

    И как раньше Римский страдал из-за Степы, так теперь Варенуха мучился из-за Алоизия. Софья Павловна записала и это и пододвинула книгу посетителям, чтобы они расписались в ней. По пояс голый, зато в меховых штанах, шерсть которых волочилась по земле, словно у яка, горного быка.

  147. 147
    PAsdrihah
    Reply

    Засмотревшись, Русана забыла про Пушка, который заметил крупную бабочку на траве и вывернулся из рук. – Кто такой? – брезгливо спросил Пилат и тронул висок рукой. Вы, – он обвёл рукой всех волхвов, – народ по мелким богам растаскиваете, оттого разброд! А вот я – от истинного бога и за истинного царя! Ждан спросил, что ещё слова просит, но Борун отказался, молча пересел на сторону Тагета.

  148. 148
    NAhdrijaa
    Reply

    Ему показалось – только лёг в постель, как Ждан поднял его: – Побежали, рыба заждалась! В казарме царил почти полный мрак. – Дара, Сокол, хватит таиться! Мне что, вас с воздуха высматривать? И дружный радостный вопль маленького отряда ответил ему… Большая орда, подчиненная Скитану, стала лагерем дальше по реке. Но уже скоро они отправятся дальше.

  149. 149
    PAhdrihar
    Reply

    Где они разделились, мы также не можем сказать, но мы знаем, что примерно через четверть часа после начала пожара на Садовой, у зеркальных дверей торгсина на Смоленском рынке появился длинный гражданин в клетчатом костюме и с ним черный крупный кот. Зато времени для дурацких мыслей не осталось, и уснул Быстров-младший мгновенно. А голоса Геры, Олена и Боруна исчезли, как обрезанные.

  150. 150
    VAidriaah
    Reply

    Русана посоветовала Ашкерову прикрывать нос платком, тот отговорился отсутствием такого аксессуара. Маргарита сорвалась с подоконника и, забыв про Николая Ивановича, схватила трубку. Проскользив чуть не метр в такой позе, кот попал в руки Арчаны.

  151. 151
    UArdriwaw
    Reply

    Завидев дом, троица обошла главную тропу, подкралась с угла. Тут можем отдохнуть. Изумлённые зрители увидели, как серебряные бляшки потянулись друг к другу, с лёгким звяканьем сошлись… И вдруг исчезли.

  152. 152
    NAedrijaw
    Reply

    Ученые и врачи специально приезжают осматривать нашу клинику. «Неужели это я, та девочка-ребенок (все так говорили обо мне), – думала Наташа, – неужели я теперь с этой минуты жена, равная этого чужого, милого, умного человека, уважаемого даже отцом моим? Неужели это правда? Неужели правда, что теперь уже нельзя шутить жизнию, теперь уж я большая, теперь уж лежит на мне ответственность за всякое мое дело и слово? Да, что он спросил у меня?» – Нет, – отвечала она, но она не понимала того, что он спрашивал. Базаров остался в проигрыше хотя незначительном, но все-таки не совсем для него приятном.

  155. 155
    UAldriraj
    Reply

    Русана уткнулась в ухо Быстрова-младшего, прокричала: – Я боюсь! Её аккуратная причёска рассыпалась, гребень сполз набок, а безжалостный ветрище сёк лицо песчинками и заставлял смыкать густые тёмные ресницы. Славянск На Кубани Центрофинанс И послушалась… Капитан крикнул рулевым, но те и сами сообразили, успели повернуть.

  156. 156
    LAidriuae
    Reply

    Дверь не шелохнулась. Mr Money Man Прошло несколько минут, и на вершине холма остались только эти два тела и три пустых столба.

  157. 157
    XAedrilar
    Reply

    Участковый всласть поизмывался над «москалятами» и Славкиным отцом, пока тот подписывал обязательство возместить ущерб, якобы причиненный владельцу. Знакомства Свингеров Секс Тоже защитницы? – Чудной ты, Яр, – покачал головой парень, – это очами видно, а ты никак не узришь.

+ Leave a Comment